好书自然经典-代数篇(1) 同调代数

[1] Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra,
Cambridge University Press 1994

在看过的同调代数书中，我认为这本书作为教材是最好的一本。
这本书有两个比较突出的特点，首先它是用范畴语言写的。至于范畴 语言的意义和好
处, daijianium已经作了非常详细的阐述，我就不再 多说了；其次这本书的行文相当
紧凑，没有太多的废话，但是又不让 人感觉非常突兀。本书的前五章依次是：
1.链复形  2.导出函子  3.Tor and Ext  4.同调维数  5.谱序列
基本是同调代数的基础内容, 其后的章节是同调代数在别的学科中的 应用，依次为
6.群的同调和上同调  7.李代数的同调和上同调  8.单纯形方法
9.Hochschild and cyclic Homology  10.导出范畴
本书要求读者对范畴，尤其是Abel范畴有一定了解，书后有一个附录， 是讲范畴语言
的，不过十分简略，关于范畴，可以参阅

[2] I. Bucur & A. Deleanu,
Introduction to the theory of categories and functors,
John Wiley & Sons, Lid. 1968

在[2]中，蛇行引理的证明是用小Abel范畴在模范畴的嵌入中完成的， 如果读者想看
纯范畴语言的证明，可以参阅
 
[3] 李克正, 交换代数与同调代数, 科学出版社，2002
[3]的那个证明确实漂亮，是拉回和推出应用的一个绝好例子。李克正 的习惯是把显
然的东西说成是抽象废话，翻译成英文应该是：It is abstractly clear that...,
我本人不是特别喜欢用嵌入定理来证蛇行引理，觉得代价太大， 应用一位老师的口头
禅就是 c'est trop cher.

[4] 周伯壎, 同调代数, 科学出版社, 1997

如果你觉得Abel范畴的语言过于繁琐，同时你又愿意承认嵌入定理，而 又不愿意了解
证明的细节，那么[1]应该是一本中文的同调代数好书， [4]的叙述要比Weibel的柔和
的多，先讲一堆范畴和模，然后才开始 讲同调，全书的内容相当于Weibel的前五章。
这本书的一个缺点是极限 讲得不好，不如Bucur and Deleanu 精到，而且拉回和推出
的一个极其重要的定理居然没有提及（看李克正对蛇行引理的证明即知），或

[5] McLane, Categories for working mathematicians

[4]的好处是讲了不少环论和模论的东东，相当有用的。这一点在

[6] H. Cartan & S. Eilenberg, Homological algebra,
Princeton University Press, 1956

中也有体现，而且[3]中还讲了更多的东西，包括同调代数方法的应用 之类，不过[3]
的年代比较久远，那时的一些东西现在可能不常用了，看的时候要注意一点。



好书自然经典-代数篇(2) 层论

[1] Roger Godement, Topologie Algebrique et Theorie des Faisceaux,
Hermann, 1964

第一次接触层的概念是在J.-B.Bost的课上，其时我在偷看

[2] Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1977

的108页。结果没有看明白。后来我去找J. Lannes，说想要学代数。Lannes带我到图
书馆，给我找了几本书，一本是Cartan和Eilenberg的同调代数，另外一本就是[1]。
[1]分为两章，第一章讲代数拓扑，其实是同调，我没有学过，关于 同调代数，前面
两篇已经着重提起过了。至于后面一章，我觉得是层论方面最精彩 不过的教科书了。
伍鸿熙在

[3] 伍鸿熙, 吕以辇, 陈志华, 紧黎曼曲面引论, 科学出版社, 1981

的130页居然这样说：
Godement的书很完备，但这么长的书，用来作参考就很好了，不一定要拿来作课本念。
对于这句话我很是不以为然。首先Godement的书并不长，讲完层的上同调还不到100
页， 其次Godement的书的结构十分紧凑。概念的堆砌恰到好处。举一个例子是ukim前
几天 提的关于层论的问题，我不知道ukim的参考书，但是如果他用的是[1]的话，我
想他的问题 是不成为问题的。[3]中也有层论的介绍，但是无论[2]或者[3]，我认为
不如[1]来的明晰。

[1]是以集合预层开始的，我们不要求附加的代数结构，Godement旋即说明了一个预
层 生成一个espace étalé，而一个预层是层当且仅当它是这个espace étalé的截面层。
espace étalé相当于盖在底空间上的一个拓扑空间，它和底空间在局部上是同胚的。
直观上说就是叠在底空间上一层一层的东东。这样层的几何意义就昭然若揭了。代数
结构 的附加是自然的，因为espace étalé是作正向极限而得来的。由于指标集是
filtrant的， 一个具有代数结构的正向系按照集合来作的正向极限与在那个代数结构
的范畴中的正向 极限是等同的。所以如果原来的预层有某种代数结构，生成的espace
étalé也同样继承 了这样的代数结构，这种过渡是很自然的，然而在[2]或[3]中，我
们一开始就讨论 代数结构，并且手动构造正向极限，容易让初学者迷茫而不知所云。




好书自然经典-代数篇(3) Galois理论

比较老的书有

[1] Van der Waerden, Bartel L., Modern algebra，
New York : Frederick Ungar, 1953-64

[2] Emil Artin, Galois theory,
Notre Dame : University of Notre Dame Press, 1971

下面这本书基本上遵循[1]的脉络：

[3]熊全淹, 近世代数, 第四版, 武汉大学出版社，1990

[1]很有名气，98年项武义在复旦有“[1]是在代数书中写得最好”云云。我个人 非常
喜欢[1]的古典风格，娓娓道来，但我在学代数之初也曾几乎淹死在这本书 的第五章
（theory of fields）。这本书平时翻翻还是不错的。

[2]篇幅不长，可以作为自学之用，不太费力气。

[3]的书不能说写的很好，但他提到了很多可以作为扩展性阅读的结果，并指出了 参
考文献，还是值得一翻（参见yjyao系列中的评论）

我翻过的其他比较近的书有

[4]Garling, D.J.H., A course in galois theory,
Cambridge University Press, 1986

[5]Nathan Jacobson, Basic algebra, W.H. Freeman, 1985-1989

[6]David Winter, The structure of fields,
New York ; Heidelberg ; Berlin : Springer, 1974

[7]P. Morandi, Field and Galois Theory, Springer-Verlag GTM #167, 1996

[4]的书我曾看过前一半，感觉不怎么好，也没什么不好，但他的行文还是很 平易近
人的，作为Galois theory的教材还是很合适的。
[5]的第一卷第四章和第二卷第八章包含了一个Galois理论的比较完整的表述。这本
书 简洁明了地讲述了有限Galois theory的基本定理，一些应用和Galois群的计算，
引进了一些技术，比如 mod p 简约。习题配备的也不错。
[7]的书没有仔细看过，但印象中它的叙述很详尽，有很多习题。

我主要想推荐[6]，相对于前面几本书，这本更现代一点，而且很简明。如果 已经学
过一些Galois理论，比如[2]，看[6]会很不错。但是[6]好像有一个错误，在 第67页
的Galois descend，最后那个同态如果要是同构的话，G必须是有限群。这样，书中
用Galois descend来证明无穷Galois对应就有问题，正确的证明参见

[8]Bourbaki, Algebre Commutative 1-4, Hermann, 1967




好书自然经典-代数篇(4) Lie代数

[1] James E. Humphreys,
Introduction to Lie algebras and representation theory,
Spring-Velag, 1972 (GTM 9)

[1] 讨论了特征为0的代数封闭域(如复数域)上有限维半单李代数的结构 和表示。要
求读者有线性代数基础。李代数的定义很自然，而且也有 直观的例子，如矩阵代数。
所以[1]的开头并不难读。在第一章中作者证明 了Engel定理，这个定理是初学者要认
真对待的一个定理。其实这个定理是 充分必要的，只是充分性是显然的，作者没有强
调而已。这个定理的证明手法 也是值得重视的，感觉在高等代数课中，矩阵的技巧强
调太多，而商空间和 空间分解的方法讲得太少，而到了代数方面深入一些的课程以后
（比如 泛函分析，拓扑线性空间），由于涉及无穷维线性空间，我们不再能应用 矩阵
的技巧，直接在线性空间上操作就成为重要的手段。

[1]的第二章是半单李代数，作者开门见山地介绍Lie和Cartan定理，这两个定理的内
容和证明都是值得注意的，理由同上，这里还可以看到Jordan标准型 的背景——
Jordan-Chevalley分解，而且内导子算子ad是保持这种分解的。

第二章还介绍了Killing型，这是李代数理论的基本工具之一。第七节中作者 详细介
绍了sl(2,F)，这是分类定理的精神-我们把李代数分解成若干具有sl(2,F)结构的子
代数，这些子代数的相互作用就是sl(2,F)的表示。而第三章引入的 根系就是这些子
代数的“下标”。这一章的分类定理就是这种思想的应用，不过 过程还是比较复杂的，
我的观点是看一看就可以，要用的时候再翻书。

分类完成以后自然要证明每一类中有一个李代数，并且同一类中的李代数是 同构的，
接下来的两章就是做这件事情。第五章的技巧在李代数的深入学习中 很有用。有专门
的书讲包络代数的，以后再介绍了。




好书自然经典-分析篇(1)


[1]Tom M. Apostol,
Introduction to Analytic Number Theory,
Springer-Velag, 1976.

第一次接触到[1]是在蒙在照老师的课上 ，其时是1999年的下半年，地点是在 四教二
楼。之所以我对于这门课有很深刻的印象，我想大抵有三个原因，首先 是蒙在照老师
的课讲的好，其次是这门课只有三个人上，最后是这本书的确写得不错。

蒙在照老师是研究解析数论的，从北大的特别数学讲座可以看到北大对于代数和 数论
是怎样的不关注，大家全在几何拓扑和方程那儿扎堆，对这种“冷门”学科 讳莫如深，
而社会上的无知之徒却对1+1品头评足，跃跃欲试，动辄“试证…”，“永远的…”，
诸如此类，实令人扼腕叹息。在蒙老师的课上，我 感受到一种深深的无奈。还是言归
正传吧，我开始介绍[1]这本书。

由于众所周知的原因，中国的解析数论的专门书籍水平是相当高的，如

[2]潘承洞, 潘承彪, 解析数论基础, 科学出版社.

还有阶的估计一书，据称写得非常好，不过没有见到过这本书，也不能说些什么。 但
是[2]已是解析数论基础工具的百科全书了，遗憾的是[2]太厚了，而且要求 较高的分
析和复变基础，如果内功不够深厚的话就必须从头看到尾，不得间断， 否则难以掌握
精髓。具有这一特点的还有

[3]Atiyah, Introduction to commutative algebra,

的习题，如果不是一道一道地往下做，而且交换代数和同调代数的内功不够深厚的 话，
往往前功尽弃。而[1]的起点就要底很多，只要对于同余有一定了解加上微积分 的基
础知识足矣。全书一共十四章，第一章是初等数论，只有二十页，把将来 所用的初等
数论知识做一个交待。第二章讲数论函数，这一章是不可不看的，数论 函数是解析数
论的基本工具，感觉上解析数论的方法是用数论函数把整数列中 有用的信息筛选出来，
就相同调群的作用那样。第三章讲数论函数求和的估计， 这是解析数论的一个基本方
法，在这一章中可以看到许多级数的估计，非常的漂亮， 与以往微积分中见到的方法
有很大不同，估计的精髓是Abel求和，读者可以看到 这种方法的威力，而且[1]写的
平易近人，让人觉得掌握Abel求和法并非难事。

其后的各章就是以上思想的具体应用。第六章是讲Dirichlet特征，旋即在第七章 中
解决了Dirichlet问题，即若a与d互素，则以a为首项，以d为公差的等差数列 中一定
有素数，并给出其中素数密度的估计，其后[1]还介绍了zeta函数和L函数，都是解析
数论研究的基本对象和重要工具。

[1]的最后两章是素数定理的证明和整数分拆的介绍，关于整数分拆，进一步的 教科
书可以参照GTM 164，我在以后的文章中再介绍了。

最后，[1]在北大图书馆中有好几本，有兴趣的同学可以去借。尤其是yosikii网友，
如果要真的知道1+2是什么东西的话，这些基础知识是不可以缺少的，与其在 网上夸
夸其谈，不如坐下来看几本好书。